高等数学中为什么要借助邻域来定义函数极限

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• 函数极限的有关问题高等数学中,有一个定理：在自变量的同一变化过程中x-->x0中,函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x) = A + a,其中a是无穷小我想请问一下这里面的 “同一变化过程”这一句话的含义,以及为什么要这么说.
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• ∞ 时,函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,则称A为函数 f(x) 当 x -> ∞ 时的极限" 这里无限接近是指在x->∞的过程中,(至少要)在数轴上的某一点x之后,函数值将越来越接近A么 是指至少在某个绝对值之后,x 的绝对值越大 函数值越接近A  那么为什么下面的式子能成立呢? 由前面推出后面我可以理解,而从后面推出前面,我觉得不一定啊,后面的两个式子只能保证单方向时的函数值的趋向性 比如 假设极限值是6,x = 3 时 假设此时函数值是 5x = -4 时 假设此时函数值是 4 而当 |x| ->  ∞ 时 (由3 -> -4,绝对值由 3 -> 4 时,) 函数值并没有更接近极限值6那当自变量趋于无穷大时函数极限的定义是指什么 是不是可以这样想:我取一些单独点来举例说明,当 x = 1,2,3,4 时 函数值是 3,4,5,6  (接近极限值10)当 x = -1,-2,-3,-4 时 函数值是 2 ,4,6,8 (或 2" target="_blank"> 关于自变量趋于无穷大时函数极限的定义定义为 "当 x -> ∞ 时,函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,则称A为函数 f(x) 当 x -> ∞ 时的极限" 这里无限接近是指在x->∞的过程中,(至少要)在数轴上的某一点x之后,函数值将越来越接近A么 是指至少在某个绝对值之后,x 的绝对值越大 函数值越接近A  那么为什么下面的式子能成立呢? 由前面推出后面我可以理解,而从后面推出前面,我觉得不一定啊,后面的两个式子只能保证单方向时的函数值的趋向性 比如 假设极限值是6,x = 3 时 假设此时函数值是 5x = -4 时 假设此时函数值是 4 而当 |x| ->  ∞ 时 (由3 -> -4,绝对值由 3 -> 4 时,) 函数值并没有更接近极限值6那当自变量趋于无穷大时函数极限的定义是指什么 是不是可以这样想:我取一些单独点来举例说明,当 x = 1,2,3,4 时 函数值是 3,4,5,6  (接近极限值10)当 x = -1,-2,-3,-4 时 函数值是 2 ,4,6,8 (或 2
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• 关于度量空间在度量空间中,所谓极限点就是在p的任意给定邻域内,都存在点q,使q属于集合E,同时,当集合E所有的极限点都是E中的点,那么极限E是闭的.书上说,所有整数的集合是闭的,但是对于这样的集合{1/n},他却是开的.我觉得,对于单个整数而言,在整数的任意给定邻域内,并不都存在点q,使q属于整数集,比如如果半径是0.5就没有.所以我想请哪位大大指点一下,为什么整数的集合是闭的,但是对于这样的集合{1/n},他却是开的?谢谢不好意思，犯错误了，对于这样的集合{1/n},书上说是不闭不开，这2个问题都是从复数集来看的。能否从聚点的定义来解释一下整数集这个问题，我脑子有点转不过来了……莫非你的意思是：既然是空集，就满足集合所有的极限点都是集合中的点。谢谢拉
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