求函数y=4x^2+16/(2+x^2)的最小值,并求取到最小值时x的值

答：
1如果不会解三次方程，解一：
考察函数
y=4x^3-18x^2+27
y'=12x^2-36x
在区间[0，2]上y'≤0,函数单调递减，
所以y取最大值27，最小值-13
现在考察函数
y1=│y│,显然y1取到最大值27，最小值0
令y=0,得在区间[0，2]上解3/2，
所以所求的函数在[0，3/2，）上单调递减，
在（3/2，2]上单调递增。
2如果知道求解三次方程，解二：
x∈[0，2]，
f(x)=4│(x-x1)(x-x2)(x-x3)│
其中x1=（3-3√3）/2<0,x2=(3+√3）/2>2,
x3=3/2
所以当0《x《3/2时,
f(x)=4x^3-18x^2+27,f'(x)=12x^2-36x《0，函数单调递减，
当3/2《x《2时，
f(x)=-4x^3-18x^2=27,f'(x)=-12x^2+36x》0，函数单调递增，
故当x取3/2时得到最小值0，当x取0时得到最大值27。

为方便计算，我求x²+4/(x²+2)的最小值吧。
x²+4/(x²+2)=x²+2+4/(x²+2)-2=≥2根号[(x²+2)*4/(x²+2)]-2=2,当x²+2=4/(x²+2)即x=0时取得等号
所以原式在x=0时取得最小值8

令u=x^2+2
则 y = 4u + 16/u - 8 (u>=2)
由基本不等式,
y >= 2 * sqrt(4u * 16/u) - 8 = 8
当且仅当 4u = 16/u 时等号成立
于是结合 u>=2 的条件可知当u=2时 y取到最小值8
此时 x = 0