设矩阵A满足A^3-2A^2+9A-E=0,证明A和A-2E都是可逆矩阵,并求出它们的逆矩阵.关键是第二个
问题描述：
设矩阵A满足A^3-2A^2+9A-E=0,证明A和A-2E都是可逆矩阵,并求出它们的逆矩阵.关键是第二个
答
A^3-2A^2+9A-E=0,则A^3-2A^2+9A-18E=-17E，（AA+9E)(A-2E)=-17E
两边取行列式。
答
1、由于A^3-2A^2+9A-E=0所以A^3-2A^2+9A=E所以A(A^2-2A+9E)=E所以|A|0,所以A可逆,并且A的逆矩阵就是A^2-2A+9E2、由于A^3-2A^2+9A-E=0所以A^2(A-2E)+9(A-2E)=-17E所以（A^2+9E）（A-2E）=-17E所以A-2E可逆,且A-2E的逆...