某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+1/12x3−5x2+170x.每单位产品的价格是134元,求使利润最大时的产量.

问题描述:

某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+

1
12
x3−5x2+170x.每单位产品的价格是134元,求使利润最大时的产量.

由题意,生茶x单位产品时,总收益R(x)=134x,
利润为:L(x)=R(x)-C(x)=134x-(300+

1
12
x3−5x2+170x)
=-
1
12
x3+5x2
-36x-300,其定义域为[0,+∞).
L′(x)=
1
4
x2
+10x-36=-
1
4
(x−36)(x−4)

令L′(x)=0,得x1=4,x2=36,
又∵L(0)=−300,L(4)=−369
1
3
,L(36)=996

且当4<x<36时,L′(x)>0,即L(x)单调递增;当x>36时,L′(x)<0,即L(x)单调递减.∴L(36)=996是L(x)的最大值.
因此工厂生产36单位产品时有最大利润996元.