设矩阵A是正规矩阵,且满足A的三次方=2A的两次方 证明：A的两次方=2A
问题描述：
设矩阵A是正规矩阵,且满足A的三次方=2A的两次方 证明：A的两次方=2A
答
因为是正规矩阵，所以A的逆矩阵存在设为A'
方程两边都乘以这个逆矩阵
A^3*A'=2A^2*A'
A^2(A*A')=2A(A*A')
A^2*E=2A*E
综上所述命题得证
答
一个矩阵是正规矩阵的充要条件是它可以酉对角化
令A=UDU^T代入已知得到UD^3U^T=2UD^2U^T,所以D^3=2D^2
所以对任意特征值d,d^3=2d^2,这个条件可以推出d^2=2d,所以D^2=2D,所以A^2=2A