设f(x)=1/3x^3+1/2x^2+2ax,若f(x)在(2/3,正无穷)上存在单调递增区间,求a的取值范围
问题描述：
设f(x)=1/3x^3+1/2x^2+2ax,若f(x)在(2/3,正无穷)上存在单调递增区间,求a的取值范围
答
函数f(x)=(1/3)x³+(1/2)x²+2ax.
求导,f'(x)=x²+x+2a.
由题设可知：
关于x的不等式x²+x+2a≥0.
其解集M与区间(2/3,+∞)的交集非空.
或者说,不等式2a≥-(x²+x)
必有解在区间(2/3,+∞)内.
∴问题可化为,求函数g(x)=-x²-x在(2/3,+∞)上的最大值（或上确界）.
显然,在(2/3,+∞)上,恒有：g(x)＜g(2/3)=-10/9.
∴应有：2a≥-10/9
∴a≥-5/9