如图,矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值.
问题描述:
如图,矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值.
答
如图,作点B关于直线AC的对称点B′,交AC与E,连接B′M,
过B′作B′G⊥AB于G,交AC于F,
由对称性可知,B′M+MN=BM+MN≥B′G,
当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=10
,
5
∵点B与点B′关于AC对称,
∴BE⊥AC,
∴S△ABC=
AC•BE=1 2
AB•BC,得BE=41 2
,BB′=2BE=8
5
,
5
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°,则∠B′BG=∠ACB,又∠B′GB=∠ABC=90°,
得△B′GB∽△ABC,
=B′G AB
,B′B AC
B′G=
=16,故BM+MN的最小值是16cm.8
×20
5
10
5
故答案为:16cm.