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（2010•南开区二模）设函数f（x）=13x-lnx（x＞0），那么函数y=f（x）（　　）A. 在区间（1e，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点B. 在区间（1e，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点C. 在区间（1e，1），（1，e）内均有零点D. 在区间（1e，1），（1，e）内均无零点

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:46:25
问题描述：

（2010•南开区二模）设函数f（x）=

1
3
x-lnx（x＞0），那么函数y=f（x）（　　）
A. 在区间（
1
e
，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
B. 在区间（
1
e
，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
C. 在区间（
1
e
，1），（1，e）内均有零点
D. 在区间（
1
e
，1），（1，e）内均无零点

答

函数的导数为f′（x）=

1
3
−
1
x
＝
x−3
3x
，
当f′（x）＞0，解得x＞3，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜3，此时函数单调递减，
则函数f（x）在（
1
e
，1），（1，e）都为减函数，
∵f（
1
e
）=
1
3
×
1
e
-ln
1
e
=
1
3e
+1＞0，f（1）=
1
3
＞0，f（e）=
1
3
e-lne=
1
3
e-e＜0，
∴在区间（
1
e
，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点，
故选：A
答案解析：求函数的导数，判断函数的单调性，然后利用函数零点的判断条件即可得到结论．
考试点：函数零点的判定定理．
知识点：本题主要考查函数零点的判断，求函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的判断条件是解决本题的关键．

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