如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=2CD．
问题描述：
如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=
CD．
2
答
证明：连接AD，BD，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=
∠ACB=45°，1 2
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=
CA，在Rt△BCN中，CN=
2
2
CB，
2
2
∴CM+CN=
（CA+CB），
2
2
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，
，
∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=
（CA+CB），
2
2
∴CA+CB=
CD．
2