已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx−1．
问题描述：
已知函数f（x）=
+alnx x+1
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．b x
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
． lnx x−1
答
（I）f′(x)＝a(x+1x− lnx)(x+1)2−bx2．由于直线x+2y-3=0的斜率为-12，且过点（1，1）所以b＝1a2−b＝−12解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=lnxx+1+1x所以f(x)−lnxx−1＝11−x2(2lnx−x2−1x)考虑函数h(x)...
答案解析：（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．
（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
知识点：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．