已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC＝4/3，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB交射线BP于点F． （1
已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC＝
，直线MN是梯形4 3 的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB交射线BP于点F．
（1）求证：PC2=PE•PF；
（2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域；
（3）连接PD，在点P运动过程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的长．
（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC＝tan∠DCB＝
，4 3
∴EG＝
y，GC＝4 5
y．3 5
由题意有EG∥MN，
∴
＝PN EG
，即BN BG
＝x
y4 5
，4.5 9−
y3 5
∴y=
（0＜x≤3）；15x x+6
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=
，3 4
∴
＝1.5 4−x
，3 4
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH＝EH＝
．5−y 2
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=
=DH cos∠ODH
•5−y 2
，5 3
又∵
＝MO MP
，4 3
∴x＝
．25±
241
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因为2都在定义域内，所以当x=
或x=2时，△EFC和△PDC相似．25±
241
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