在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N. (1)如图a,当点H与点F重合时,求BE的长;(2)如图b,当点H在线段FD上时,设B

问题描述:

在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.

(1)如图a,当点H与点F重合时,求BE的长;
(2)如图b,当点H在线段FD上时,设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时,求线段DN的长.

(1)∵EF⊥EC,
∴∠AEF+∠BEC=90°,
∵∠AEF=∠BEC,
∴∠AEF=∠BEC=45°,
∵∠B=90°,
∴BE=BC,
∵BC=3,
∴BE=3;
(2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G,
∴四边形BEGC是矩形,
∴BE=CG,
∵AB∥CN,
∴∠AEH=∠ENC,∠BEC=∠ECN,
∵∠AEH=∠BEC,
∴∠ENC=∠ECN,
∴EN=EC,
∴CN=2CG=2BE,
∵BE=x,DN=y,CD=AB=4,
∴y=2x-4(2≤x≤3);
(3)∵∠BAD=90°,
∴∠AFE+∠AEF=90°,
∵EF⊥EC,
∴∠AEF+∠CEB=90°,
∴∠AFE=∠CEB,
∴∠HFE=∠AEC,
当△FHE与△AEC相似时,
(ⅰ)若∠FHE=∠EAC,
∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC,
∴∠FHE=∠ECB,
∴∠EAC=∠ECB,
∴tan∠EAC=tan∠ECB,

BC
AB
=
BE
BC

∵AB=4,BC=3,
∴BE=
9
4

∵设BE=x,DN=y,y=2x-4,
∴DN=
1
2

(ⅱ)若∠FHE=∠ECA,如所示,设EG与AC交于点O,
∵EN=EC,EG⊥CN,
∴∠1=∠2,
∵AH∥EG,
∴∠FHE=∠1,
∴∠FHE=∠2,
∴∠2=∠ECA,
∴EO=CO,
设EO=CO=3k,则AE=4k,AO=5k,
∴AO+CO=8k=5,
∴k=
5
8

∴AE=
5
2
,BE=
3
2

∴DN=1,
综上所述,线段DN的长为
1
2
或1时△FHE与△AEC相似.