设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明:(1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η(2)对任意实数λ,必存在一点ξ∈(0,η),使f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1需要的话可以加分的,大侠们帮帮忙吧.

问题描述:

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明:
(1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在一点ξ∈(0,η),使f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
需要的话可以加分的,大侠们帮帮忙吧.

(1)证明:构造函数g(x)=f(x)-x,由于设(x)在闭区间[0,1]上连续,显然,
g(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1 (f(ξ)-ξ)'=λ*(f(ξ)-ξ)
=>f'(ξ)-1=λ*(f(ξ)-ξ)
即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
证毕~
注:f'(ξ)表示f(x)在x=ξ处的倒数