λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求α1,A(α1+α2)线性无关充要条件
问题描述：
λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求α1,A(α1+α2)线性无关充要条件
答
证明:因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1,α2 线性无关
又 A(α1+α2) = Aα1+Aα2 = λ1α1+λ2α2
故 α1,A(α1+α2) 线性无关充要条件是行列式
1 0
λ1 λ2
不等于0.
即 λ2 ≠ 0.给你一个好接受的证明方法吧设 k1α1+k2(λ1α1+λ2α2) = 0(*)则 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 k1,k2 只能为0.(*)式改写为 (k1+k2λ1)α1 +k2λ2α2 =0因为 α1,α2 无关所以 k1+k2λ1 = 0 k2λ2 = 0将k1,k2 看作未知量. 则上齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式≠ 0.而系数行列式 = 1λ10λ2= λ2(注: 这个行列式就是上一个解法的行列式的转置)故 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 λ2≠ 0.