如图，已知A，B，C为不在同一直线上的三点，且AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1． （1）求证：平面ABC∥平面A1B1C1； （2）若AA1⊥平面ABC，且AC=AA1=4，BC=3，AB=5，求证：A1C丄平面AB1C1 （
问题描述：
如图，已知A，B，C为不在同一直线上的三点，且AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1．
（1）求证：平面ABC∥平面A1B1C1；
（2）若AA1⊥平面ABC，且AC=AA1=4，BC=3，AB=5，求证：A1C丄平面AB1C1
（3）在（2）的条件下，设点P为CC1上的动点，求当PA+PB1取得最小值时PC的长．
答
（1）证明：∵AA1∥CC1且AA1=CC1
∴四边形ACC1A1是平行四边形，（1分）
∴AC∥A1C1，
∵AC⊄面A1B1C1，A1C1⊂面A1B1C1
∴AC∥平面A1B1C1，（3分）
同理可得BC∥平面A1B1C1，
又AC∩CB=C，
∴平面ABC∥平面A1B1C1（4分）
（2）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面ABC，（5分）
∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC （6分）
∵平面ACC1A1∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面ACC1A1，（7分）
∴BC⊥A1C，
∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C
又AA1⊥AC，AC=AA1，得ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1（8分）
又AC1∩B1C1=C1，
∴A1C丄平面AB1C1（9分）
（3）将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1绕侧棱CC1旋转到与侧面BCC1B1在同一平面内如图示，
连结AB1交CC1于点P，则由平面几何的知识知，这时PA+PB1取得最小值，（12分）
∵PC∥BB1
∴
＝PC BB1
⇒PC＝AC AB
＝AC•BB1
AB
．（14分）16 7