已知函数$f(x)=1/2x^2+lnx$.已知函数f(x)=1/2x^2+lnx求证:在区间(1,+oo)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x^3图象的下方;

问题描述:

已知函数$f(x)=1/2x^2+lnx$.
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx
求证:在区间(1,+oo)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x^3图象的下方;

等价于证明g(x)-f(x)>0h(x)=g(x)-f(x)=2/3x^3-1/2x^2-lnxh'(x)=2x^2-x-1/x在(1,+oo)上是增函数(可以根据增函数的定义证明)并且h'(1)=0所以h'(x)>0在区间(1,+oo)上从而h(x)在区间(1,+oo)上是增函数而h(1)=2/3...