已知函数f(x)＝(x+1)lnxx−1(x＞0且x≠1)（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．
问题描述：
已知函数f(x)＝
(x＞0且x≠1)(x+1)lnx x−1
（1）讨论函数f（x）的单调性
（2）证明：f（x）＞2．
答
（1）∵f(x)＝(x+1)lnxx−1(x＞0且x≠1)∴f′(x)＝−2lnx+x−1x(x−1)2令g（x）=−2lnx+x−1x则g′（x）=−2x+1+1x2=(x−1x)2由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，又∵g（1）=0故当x∈（0，1）时，g...
答案解析：（1）由已知中函数的解析式，可得f′(x)＝
，构造函数g（x）=−2lnx+x−−2lnx+x−
1 x (x−1)2
，利用导数法，可得当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；1 x
（2）原不等式可化为
[lnx−x+1 x−1
]＞0，构造函数h（x）=lnx−2(x−1) x+1
，利用导数法，可得当x∈（0，1）时和x∈（1，+∞）时，h（x）与2(x−1) x+1
同号，即x+1 x−1
[lnx−x+1 x−1
]＞0成立，进而得到结论；2(x−1) x+1
考试点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
知识点：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的性质，其中构造函数法属于导数应用的难点．