等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为 _ .
问题描述:
等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为 ___ .
答
设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,
由OA=OB得:x12+y12=x22+y22,
∴x12-x22+2px1-2px2=0,即(x1-x2)(x1+x2+2p)=0,
∵x1>0,x2>0,2p>0,
∴x1=x2,即A,B关于x轴对称.
∴直线OA的方程为:y=xtan45°=x,由
解得
y2=2px y=x
或
x=0 y=0
,
x=2p y=2p
故AB=4p,
∴S△OAB=
×2p×4p=4p2.1 2
故答案为:4p2.