求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解．
问题描述：
求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解．
答
方程y″-5y′+6y=xe2x的特征方程为：
λ2-5λ+6=0，
特征根为：λ1=2，λ2=3．
因为2是方程的单重特征根，
故方程y″-5y′+6y=xe2x的特解形式为：
y*=x（Ax+B）e2x．
代入方程整理可得，-2Axe2x+（2A-B）e2x=xe2x，
因此，
⇒A＝−
−2A＝1 2A−B＝0
，B=-1．1 2
故方程的通解为：y＝C1e2x+C2e3x−
(x+2)ex．x 2
答案解析：求解方程的特征值与特解，利用线性微分方程解的结构定理即可得到通解的表达式．
考试点：线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
知识点：本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，解题中利用了线性微分方程解的结构定理，是一个基础型题目，难度系数不大．二阶常系数微分方程的求解是一个常考知识点，需要熟记非齐次问题的特解形式并熟练掌握其求解方法．