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设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．（1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；（2）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an−B1−A}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 07:42:55
问题描述：

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．
（1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an−

B
1−A
}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．

答

（1）令n=1，S1=2a1-3．∴a1=3又Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，两式相减得，an+1=2an+1-2an-3，（3分）则an+1=2an+3（4分）（2）按照定理：A=2，B=3，∴{an+3}是公比为2的等比数列．则an+3=（a1+3）•2n-1=6•2n-...
答案解析：（1）令n=1，由S1=2a1-3，知a1=3，再由Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，知an+1=2an+1-2an-3，由此能求出an+1=2an+3．
（2）按照定理：A=2，B=3，{an+3}是公比为2的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）由an=6•2n-1-3，知Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2n-1-3），由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
考试点：数列递推式；等比数列的前n项和；等比关系的确定．


知识点：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列的通项公式的求法和等比数列前n项和的应用．

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