已知a1，a2，…，an均为正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．
问题描述：
已知a1，a2，…，an均为正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．
答
证明：∵a1＞0，1＞0；2+a1=1+1+a1≥3•
=3•
3
1•1•a1
＞0；…（2分）
3
a1
同理：2+a2=1+1+a2≥3•
=3•
3
1•1•a2
＞0；…2+an=1+1+an≥3•
3
a2
=3•
3
1•1•an
＞0
3
an
由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•
…（4分）
3
a1•a2…an
∵已知：a1•a2…an=1，代入上式得：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n…（6分）
答案解析：根据不等式的结构特征，得出2+an=1+1+an≥3•
=3•
3
1•1•an
＞0，对各项放缩后，再利用不等式的性质同向不等式相乘．
3
an
考试点：不等式的基本性质；基本不等式；数列与不等式的综合．
知识点：本题考查不等式的证明．用到了利用三元均值不等式放缩法和不等式的性质．