已知函数f(x)=1/3(a^2)(x^3)+3a(x^2)+8x ,g(x)=x^3+3(m^2)x-8m,f(x)在X=1的切线的斜率为-1.请问是否总存在实数m,使得对任意的x1属于[-1,2],总存在x0属于[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立?存在,说出理由,求M
问题描述：
已知函数f(x)=1/3(a^2)(x^3)+3a(x^2)+8x ,g(x)=x^3+3(m^2)x-8m,f(x)在X=1的切线的斜率为-1.
请问是否总存在实数m,使得对任意的x1属于[-1,2],总存在x0属于[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立?存在,说出理由,求M
答
存在,如下：
1）f'(x)=a^2x^2+6ax+8
f'(1)=a^2+6a+8=-1,解得：a=-3
f(x)=3x^3-9x^2+8x
f'(x)=9x^2-18x+8=(3x-2)(3x-4)=0,得极值点x=2/3,4/3
在[-1,2]上,有极大值f(2/3)=20/9,极小值f(4/3)=16/9
f(-1)=-3-9-8=-20
f(2)=24-36+16=4
因此在[-1,2]上,f(x)的值域为;[-20,4]
2）g'(x)=3x^2+3m^2>0,因此g(x)单调增
f(0)=-8m,
f(1)=1+3m^2-8m
在[0,1]上,g(x)的值域为[-8m,1+3m^2-8m]
3）f(x)的值域应包含在g(x)的相应值域内,因此有：
-8m m>=5/2
1+3m^2-8m>=4 ==> (3m+1)(m-3)>=0 ==> m>=3 or m=3.