已知二次函数y=ax2+bx+c,一次函数y=k(x-1)-k24,若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点,则二次函数的解析式为______.
问题描述:
已知二次函数y=ax2+bx+c,一次函数y=k(x-1)-
,若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点,则二次函数的解析式为______. k2 4
答
根据题意得,
y=ax2+bx+c①,
y=k(x-1)-
②,k2 4
解由①②组成的方程组,消去y,整理得,ax2+(b-k)x+c+k+
=0,k2 4
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点,则方程组只有一组解,
∴x有两相等的值,
即△=(b-k)2-4a(c+k+
)=0,k2 4
∴(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0,
由于对于任意的实数k都成立,所以有1-a=0,2a+b=0,b2-4ac=0,
∴a=1,b=-2,c=1,
所以二次函数的解析式为y=x2-2x+1.
故答案为:y=x2-2x+1.
答案解析:根据题意由y=ax2+bx+c①,y=k(x-1)-
②,组成的方程组只有一组解,消去y,整理得,ax2+(b-k)x+c+k+k2 4
=0,则△=(b-k)2-4a(c+k+k2 4
)=0,整理得到(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0,由于对于任意的实数k都成立,所以有1-a=0,2a+b=0,b2-4ac=0,求出a,b,c即可.k2 4
考试点:待定系数法求二次函数解析式.
知识点:本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式.二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题,而方程组的解的情况转化为一元二次方程根的情况.