已知椭圆与双曲线x2−y23＝1有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）．（1）求椭圆方程的标准方程；（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．
问题描述：
已知椭圆与双曲线x2−
＝1有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）．y2 3
（1）求椭圆方程的标准方程；
（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．
答
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1 （a>b>0）．y2 b2
双曲线x2-
=1 的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），y2 3
∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a2=b2+4，
又椭圆过点P（0，2），则0+
=1，4 b2
∴b2=4，得a2=8，
∴所求椭圆方程的标准方程为
+x2 8
=1；y2 4
（2）双曲线渐近线方程：y=±
x，
3
设直线l：y=±
x+m，
3
代入椭圆方程得：7x2±4
mx+2m2-8=0，
3
由相切得：△=48m2-28（2m2-8 ）=0，解得m=±2
7
∴直线l的方程是：y=±
x±2
3
．
7
答案解析：（1）求出双曲线x2−
＝1 的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），即c=2；设出椭圆的标准方程，利用椭圆过点P（0，2），求出a2，b2；y2 3
（2）双曲线渐近线方程是y=±
x，设直线l：y=±
3
x+m，根据直线与椭圆相切解出m的值．
3
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查了双曲线的简单性质与椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，解答的关键是利用直线与椭圆相切的条件△=0求出待定系数．