如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BD平分∠ABC.(1)求证:DC=BC;(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求BEBF的值.

问题描述:

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BD平分∠ABC.

(1)求证:DC=BC;
(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求

BE
BF
的值.

(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
∴∠CBD=∠BDC,
∴DC=BC;
(2)等腰直角三角形.
理由如下:在△DEC和△BFC中,

DE=BF
∠EDC=∠FBC
DC=BC

∴△DEC≌△BFC(SAS),
∴CE=CF,∠ECD=∠BCF,
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°,
即△ECF是等腰直角三角形;
(3)∵BE:CE=1:2,
∴设BE=k,CE=2k,
则EF=
2
CE=2
2
k,
∵∠BEC=135°,∠CEF=45°,
∴∠BEF=135°-45°=90°,
∴BF=
k2+(2
2
k)
2
=3k,
BE
BF
=
k
3k
=
1
3

答案解析:(1)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠ABD=∠BDC,然后求出∠CBD=∠BDC,再根据等角对等边证明即可;
(2)利用“边角边”证明△DEC和△BFC全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=CF,全等三角形对应角相等可得∠ECD=∠BCF,再求出∠ECF=90°,然后判断△ECF是等腰直角三角形;
(3)根据比例设BE=k,CE=2k,根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
2
倍表示出EF,再求出∠BEF=90°,然后利用勾股定理列式求出BF,然后计算即可得解.
考试点:梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.
知识点:本题考查了梯形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,以及等腰直角三角形的性质,(3)比例问题通常利用“设k法”求解更加简单.