如图,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D,(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠A和∠D度数;(2)由第(1)小题的计算,发现∠A和∠D有什么关系?它们是不是一定有这种关系?请作出说明.

问题描述:

如图,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D,

(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠A和∠D度数;
(2)由第(1)小题的计算,发现∠A和∠D有什么关系?它们是不是一定有这种关系?请作出说明.

(1)在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°,
∵BD为∠ABC,CD为∠ACE的角平分线,
∴∠DBC=

1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°,
∠ACD=
1
2
(180°-∠ACB)=
1
2
×140°=70°,
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°,
∴∠A=80°,∠D=40°.
(2)通过第(1)的计算,得到∠A=2∠D,理由如下:
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC,
又BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠ECD,
∴∠A=2(∠DCE-∠DBC),∠D=∠DCE-∠DBC,
∴∠A=2∠D.
答案解析:(1)根据三角形内角和定理,已知∠ABC=60°,∠ACB=40°,易求∠A和∠D度数.
(2)根据三角形内角和定理以及角平分线性质,先求出∠D的等式,再与∠A比较即可解答.
考试点:三角形的外角性质;角平分线的定义;三角形内角和定理.

知识点:此类题关键是考查三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用.