答
(1)证明:连接OD,如图,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∵OD=OB,
∴∠B=∠1,
∴∠C=∠1,
∴OD∥AC.
∴∠2=∠FDO,
∵DF⊥AC,
∴∠2=90°,
∴∠FDO=90°,
∵OD为半径,
∴FD是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴∠3=∠4.
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE,
∴弧DE=弧DB=弧AE,
∴∠B=2∠4,
∴∠B=60°,
∴∠C=60°,△OBD为等边三角形,
在Rt△CFD中,DF=2,∠CDF=30°,
∴CF=DF=,
∴CD=2CF=,
∴DB=,
∴OB=DB=,
即⊙O的半径为.
答案解析:(1)连接OD,根等腰三角形的性质得∠C=∠B,∠B=∠1,则∠C=∠1,根据平行线的判定方法得OD∥AC,则∠2=∠FDO,而DF⊥AC,则∠2=90°,于是∠FDO=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,利用等腰三角形的性质得∠3=∠4,根据圆周角定理得到弧ED=弧DB,而弧AE=弧DE,于是弧DE=弧DB=弧AE,∠B=2∠4,即可得到∠B=60°,则△OBD为等边三角形,且有∠C=60°,在Rt△CFD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=DF=,CD=2CF=,则OB=DB=CD=.
考试点:圆的综合题.
知识点:本题考查了圆的综合题:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系在几何证明和计算中经常用到.