如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为(  )A. 27B. 4C. 37D. 1+27

问题描述:

如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为(  )
A. 2

7

B. 4
C. 3
7

D. 1+2
7

连接BE,与AD交于点G.
∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴点C关于AD的对应点为点B,
∴BE就是EM+CM的最小值.
∴G点就是所求点,即点G与点M重合,
取CE中点F,连接DF.
∵等边△ABC的边长为6,AE=2,
∴CE=AC-AE=6-2=4,
∴CF=EF=AE=2,
又∵AD是BC边上的中线,
∴DF是△BCE的中位线,
∴BE=2DF,BE∥DF,
又∵E为AF的中点,
∴M为AD的中点,
∴ME是△ADF的中位线,
∴DF=2ME,
∴BE=2DF=4ME,
∴BE=

4
3
BM.
在直角△BDM中,BD=
1
2
BC=3,DM=
1
2
AD=
3
3
2

∴BM=
BD2+DM2
=
3
2
7

∴BE=
4
3
×
3
2
7
=2
7

∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为 2
7

故选A.
答案解析:要求EM+CM的最小值,需考虑通过作辅助线转化EM,CM的值,从而找出其最小值求解.
考试点:轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质.
知识点:考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.