已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径.∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D.DE⊥AB于点E,且交AC于点P.连结AD,求证:(1)∠DAC=∠DBA;(2)P是线段AF的中点.

问题描述:

已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径.∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D.DE⊥AB于点E,且交AC于点P.连结AD,
求证:

(1)∠DAC=∠DBA;
(2)P是线段AF的中点.

(1)∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA.
(2)∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DE⊥AB于点E,
∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,
∴PD=PA,
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点.
答案解析:(1)根据角平分线的性质可得∠CBD=∠DBA,由圆周角定理可得∠DAC=∠CBD,继而可得出结论;
(2)根据等角的余角相等,得出∠ADE∠ABD,结合(1)可得PA=PD,再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD,继而得出PD=PF,然后可得结论.
考试点:圆周角定理.
知识点:本题考查了圆的综合,涉及了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例,同弧所对的圆周角相等,注意数形结合思想运用.