双曲线焦点三角形的面积公式
问题描述：
双曲线焦点三角形的面积公式
麻烦写下推导过程.
答
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)