如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需______元；探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板______块．

答

(1)设FC=x，正方形EFCG的面积=1*x²，△ABE的面积= 1*(1-x)/2，剩余面积=1-1*x² -1*(1-x)/2
①所需费用=60x²+80(1-x)/2+40[1-x² -(1-x)/2]=20x² -20x+60
②x=1/4,20x² -20x+60=20*1/16-20*1/4+60=56.25
x=1/2,20x² -20x+60=20*1/4-20*1/2+60=55
x=3/4,20x² -20x+60=20*9/16-20*3/4+60=56.25
当x为1/2时，将这块木板贴上墙纸所需的费用最省。
(2)若木板边长为a米，要使墙纸费用最省，正方形EFCG的边长应为a/2米。

答

：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S△ABE=12•2•1=1，S正方形EFCG=1，S空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
故答案为220．
（2）设FC=xm，则BF=（1-x）m，总费用为y元，
∴S△ABE=12•（1-x）•1=12（1-x），S正方形EFCG=x2，S空白=1-12（1-x）-x2=-x2+12x+12，
∴y=12（1-x）×80+x2•60+（-x2+12x+12）•40
=20x2-20x+60
=20（x-12）2+55，
当x=12时，y最小=55元．
所以这块木板需用墙纸的最省费用为55元；
（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S△ABE=12•（a-x）•a=12（a2-ax），S正方形EFCG=x2，S空白=a2-12（a2-ax）-x2=-x2+12ax+12a2，
∴y=12（a2-ax）×80+x2•60+（-x2+12ax+12a2）•40
=20x2-20ax+60a2
∴当x=12a时，y有最小值，即墙纸费用最省；
当x≤1，则12a≤1，得a≤2，而a为正整数，得到a=1或2，
当a=1，费用为21×55=1155；当a=2，费用为6×220=1320，
所以a=1，用21块．
故答案为21．点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．

答

（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=

1

2

×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
故答案为220．
（2）设FC=xm，则BF=（1-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE=

1

2

（1-x）×1=

1

2

（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-

1

2

（1-x）-x²=-x²+

1

2

x+

1

2

，
∴y=

1

2

（1-x）×80+60x²+（-x²+

1

2

x+

1

2

）•40
=20x²-20x+60 
=20（x-

1

2

）²+55，
当x=

1

2

时，y_最小=55元．
所以这块木板需用墙纸的最省费用为55元；
（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE=

1

2

•（a-x）•a=

1

2

（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-

1

2

（a²-ax）-x²=-x²+

1

2

ax+

1

2

a²，
∴y=

1

2

（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+

1

2

ax+

1

2

a²）•40
=20x²-20ax+60a²
∴当x=

1

2

a时，y有最小值，即墙纸费用最省；
当x≤1，则

1

2

a≤1，得a≤2，而a为正整数，得到a=1或2，
当a=1，费用为21×55=1155；当a=2，墙纸无法用尽（舍去），
所以a=1，用21块．
故答案为21．
答案解析：（1）CF=1，BC=2，得到BF=1，然后分别计算出S_△ABE=

1

2

×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，再乘以它们的单价即可得到一块木板用墙纸的费用；
（2）设FC=xm，则BF=（1-x）m，总费用为y元，再计算S_△ABE=

1

2

（1-x）×1=

1

2

（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-

1

2

（1-x）-x²=-x²+

1

2

x+

1

2

，然后乘以它们的单价即可得到一块木板用墙纸的费用，最后利用二次函数的最值问题求出当x=

1

2

时，y_最小=55元．
（3）同（2）一样，设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，得到y=20x²-20ax+60a²，当x=

1

2

a时，y有最小值，即墙纸费用最省；当x≤1，则

1

2

a≤1，得a≤2，而a为整数，得到a=1或2，然后比较费用，最后得到需要这样的木块21块．
考试点：二次函数的应用．
知识点：本题考查了三角形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用．二次函数的性质的运用，单价×数量=总价的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

答