设数列{Xn}有界,又lim(n->正无穷)Yn=0,证明：lim(n->正无穷)XnYn=0.定义法

数列{Xn}有界，则存在M>0,使得|Xn|lim(n->正无穷)Yn=0，故由极限定义
对于任意小的数e>0,存在正整数N，使得n>N
有|Yn-0|故|XnYn-0|=|XnYn|故对于任意小的数e>0,存在正整数N，使得n>N
有|XnYn-0|故由极限定义知道
lim(n->正无穷)XnYn=0

一楼的那个错了，有界数列不一定收敛，所以那样做是不对的。三楼那个应该是对的，很妙！

因为数列｛Xn}有界，
所以存在M>0,使得
|Xn|又lim(n->正无穷)Yn=0,所以对任意ε>0,存在正整数N>0,当n>N时,
有|Yn|从而,还在刚才的条件下,有
|Xn*Yn-0|=|Xn|*|Yn|根据极限定义有:lim(n->正无穷)(XnYn)=0.

设数列{Xn}上界为M,下界为m，取A=MAX(|M|,|m|),则有-AYnlim(n->正无穷)-AYn=-Alim(n->正无穷)Yn=-A*0=0;
lim(n->正无穷)AYn=Alim(n->正无穷)Yn=A*0=0;
由夹逼定理，得lim(n->正无穷)XnYn=0。

如果存在M>0,对任意的n都有：|xn|≤M,称数列{xn}有界.
所以lim(n->正无穷) Xn=M
故lim(n->正无穷)XnYn
=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]
=M*0
=0