已知三次函数F(X)=ax^3+bx^2+cx 过点(-1.2) 且在(1.f(1))处的切线方程为y+2=0 设g(x)=f(x)+mf(x)当X属于 【1.正无穷)时 g(x)大于等于 —2恒成立 求实数m的取值范围
问题描述:
已知三次函数F(X)=ax^3+bx^2+cx 过点(-1.2) 且在(1.f(1))处的切线方程为y+2=0 设g(x)=f(x)+mf(x)
当X属于 【1.正无穷)时 g(x)大于等于 —2恒成立 求实数m的取值范围
答
f'(x) = 3ax²+2bx+c
点P(1,f(1))的坐标为:(1,a+b+c)
切线斜率:k=f'(1) = 3a+2b+c
过P的切线方程:y-a-b-c = (3a+2b+c)(x-1) 与 y = -2 是同一条直线
即:3a+2b+c= 0 …… ①
a+b+c=-2 …… ②
又∵f(x)过(-1,2)点 ∴ -a+b-c= 2 …… ③
连理①②③得:a=1;b=0;c=-3;
即:f(x)=x³-3x
∴g(x) = (x³-3x)(m+1)
∵当X∈[1,+∞)时 g(x)≥ -2 恒成立
即 g(x)在[1,+∞)为单调增函数,且 g(1) ≥ -2
即:-2(m+1) ≥ -2
∴ m+1 ≤ 1
即:m ≤ 0