过点p(4,2)作圆x^2+y^2=1的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

问题描述:

过点p(4,2)作圆x^2+y^2=1的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

可先设切线为y-2=k(x-4),再用圆心到直线距离为1,求k。有了k之后便可求出切点,再设圆方程为一般式,三点联立求圆

连接AB,OP,则OA⊥AP,OB⊥BP,PO⊥AB,且平分AB,
∴OP=2√2,OA=1=OB,∴PA=PB=√7,
设A点坐标为A﹙m,n﹚,则:
①﹙2-m﹚²+﹙2-n﹚²=7
②m²+n²=1解得:
m=¼﹙1±√7﹚,n=¼﹙1-±√7﹚,
∴A﹙¼﹙1+√7﹚,¼﹙1-√7﹚﹚,
B﹙¼﹙1-√7﹚,¼﹙1+√7﹚﹚,
△OAB的外接圆的圆心D一定在OP上,
由P点坐标得OP直线方程是:y=x,
同时D也一定在OA的垂直平分线上,
∴OA直线方程为:y=[﹙√7-4﹚/3]x,
由中点公式得:
OA中点E坐标为E﹙½×¼﹙1+√7﹚,½×¼﹙1-√7﹚﹚,
∵DE⊥OA,
∴DE直线方程可以设:y=[-3/﹙√7-4﹚]x+b,
将E点坐标代入解得:b=﹙-1-√7﹚/3,
∴DE直线方程为:y=[-3/﹙√7-4﹚]x+﹙-1-√7﹚/3,
由DE、OP直线方程可以解得交点D坐标为:﹙1,1﹚,
而OD=√2,
∴圆D方程为:﹙x-1﹚²+﹙y-1﹚²=2.