已知圆Ox^2+y^2=1和定点A(2,1).P是圆O外一动点,且过点P向圆O引切线PQ,切点为Q,若丨PQ丨=丨PA丨,(1求动点P的轨迹方程.(2)求PQ的最小值.(3)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点,求出圆P的半径最小时圆P的方程.
问题描述:
已知圆Ox^2+y^2=1和定点A(2,1).P是圆O外一动点,且过点P向圆O引切线PQ,切点为Q,若丨PQ丨=丨PA丨,(1
求动点P的轨迹方程.(2)求PQ的最小值.(3)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点,求出圆P的半径最小时圆P的方程.
答
(1)
设P(X0,Y0)
|PQ| =(X0^2+Y0^2-1)^1/2-----△PQO直角三角形
|PA|=((X0-2)^2+(Y0-1)^2)^1/2
......
(2)
|PQ|^2=X0^2+Y0^2-1
将(1)求出的轨迹方程代入
......
(3)
∵有公共点、半径最小
∴圆P与圆O相切,|OP|最小
(求出|OP|最小值时的点P)
......
----------------------------
授人以鱼不如授人以渔
答
(1)设P(x,y)则 x^2+y^2=1^2+(x-2)^2+(y-1)^2化简得2x+y=3
(2)丨PQ丨=丨PA丨所以 PQ=√((x-2)^2+(y-1)^2)把y=3-2x代入可得
PQ=√(5x^2-12x+8)=√(5(x-6/5)^2-36/5+8)=√(5(x-6/5)^2+4/5)》√(4/5)所以最小值为√(4/5)
(3)圆P的半径最小时,圆P与圆O相切,则过原点做直线2x+y=3的垂线,距离为(3√5)/5
所以半径为((3√5)/5-1) 圆P的圆点坐标为(6/5,3/5)
所以圆P的方程为(x-6/5)^2+(y-3/5)^2=((3√5)/5-1) ^2