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已知直线y=-2x+a（a＞0）与圆x2+y2=9交于A、B两点，（O是坐标原点），若OA•OB=92，则实数a的值是 ___ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:58:30
问题描述：

已知直线y=-2x+a（a＞0）与圆x2+y2=9交于A、B两点，（O是坐标原点），若

OA
•
OB
=
9
2
，则实数a的值是 ___ ．

答

把直线y=-2x+a（a＞0）代入圆x2+y2=9，
得x2+（-2x+a）2=9，
整理，得5x2-4ax+a2-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=

4
5
a，x1x2=
a2-9
5
，
∴y1y2=（-2x1+a）（-2x2+a）
=4x1x2-2a（x1+x2）+a2
=
4a2-36
5
-
8
5
a2+a2，
∵
OA
•
OB
=
9
2
，
∴x1x2+y1y2=
a2-9
5
+
4a2-36
5
-
8
5
a2+a 2
=
2a2-45
5
=
9
2
，
解得a=±
3
 5
2
．
∵a＞0，∴a=
3
 5
2
．
故答案为：
3
 5
2
．
答案解析：把直线y=-2x+a（a＞0）代入圆x2+y2=9，得5x2-4ax+a2-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=a2−95，y1y2=4a2−365-85a2+a2，由此利用OA•OB＝92，能求出a．
考试点：平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．
知识点：本题考查平面向量数量积的运算，解题时要认真审题，注意向量垂直、韦达定理、圆等基本知识的合理运用．

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