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已知OA=（1，2，3），OB=（2，1，2），OP=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当QA•QB取得最小值时，点Q的坐标为（　　）A. (12，34，13)B. (12，32，34)C. (43，43，83)D. (43，43，73)

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:57:10
问题描述：

已知

OA
=（1，2，3），
OB
=（2，1，2），
OP
=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当
QA
•
QB
取得最小值时，点Q的坐标为（　　）
A. (
1
2
，
3
4
，
1
3
)
B. (
1
2
，
3
2
，
3
4
)
C. (
4
3
，
4
3
，
8
3
)
D. (
4
3
，
4
3
，
7
3
)

答

设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得

OQ
＝λ
OP
，则有Q（λ，λ，2λ）
QA
＝(1−λ，2−λ，3−2λ)，
QB
＝(2−λ，1−λ，2−2λ)
当
QA
•
QB
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ＝
4
3
时，取得最小值−
2
3
此时Q (
4
3
，
4
3
，
8
3
)
故选：C
答案解析：可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得
QA
•
QB
=2（3λ2-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
考试点：平面向量的综合题．
知识点：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
OQ
＝λ
OP
，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．

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