已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,向量OP=α向量OA+β向量OB,求α+β

问题描述:

已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,向量OP=α向量OA+β向量OB,求α+β

由共线知AP=λPB
AO+OP=λPO+λOB
(1+λ)OP=OA+λOB
OP=1/(1+λ)OA+λ/(1+λ)OB (*)
从而α+β=1/(1+λ)+λ/(1+λ)=1
将(*)式变形,我们会发现α+β=1不随A,P,B相对位置改变
(1+λ)OP-λOB=OA
(1+λ)/λOP-1/λOA=OB
注:α+β=1等价于A,B,P三点共线

向量OP=α向量OA+β向量OB而:向量OP=向量OB+向量BP向量OA=向量OB-向量AB所以:向量OB+向量BP=α(向量OB-向量AB)+β向量OB向量BP=-α向量AB+(α+β-1)向量OB设:ABP方向的单位向量为:向量i则:向量BP*向量i=-α...