已知函数f（x）=1+lnxx．（1）若函数在区间（a，a+12）上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：[（n+1）]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．
问题描述：
已知函数f（x）=
．1+lnx x
（1）若函数在区间（a，a+
）上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围；1 2
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥
恒成立，求实数k的取值范围；k x+1
（3）求证：[（n+1）]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．
答
（1）f′（x）=-lnxx2，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．又f′（1）=0，∴函数f（x）在x=1时取得极大值，∵函数在区间（a，a+12）上存在极值...
答案解析：（1）f′（x）=-
，由于当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x时，f′（x）＜0．又f′（1）=0，即可得出函数f（x）在x=1时取得极大值，lnx x2
由于函数在区间（a，a+
）上存在极值，其中a＞0，可得a＜1＜a+1 2
，即可得出．1 2
（2）不等式f（x）≥
，即k x+1
≥k．令g（x）=(x+1)(1+lnx) x
，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(x+1)(1+lnx) x
（3）由（2）知：f(x)≥
恒成立，即lnx≥2 x+1
=1-x-1 x+1
＞1-2 x+1
，令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-2 x
，利用“裂项求和”即可得出．2 n(n+1)
考试点：A:导数在最大值、最小值问题中的应用 B:函数恒成立问题 C:利用导数研究函数的极值
知识点：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．