一道代数式的最值问题:求代数式(x+y)^2+(x-3)^2+(y-3)^2的最小值.
问题描述：
一道代数式的最值问题:求代数式(x+y)^2+(x-3)^2+(y-3)^2的最小值.
答
12
答
引理：(a^2+b^2+c^2) ≥ ((a+b+c)^2)/3
引理的证明：引理两边展开后等价于要证(a^2+b^2+c^2) ≥ (ab+bc+ac),而a^2+b^2≥2ab,同理b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ac,相加则引理得证,当且仅当a=b=c时等号取到
回到原题,(x+y)^2+(x-3)^2+(y-3)^2=(x+y)^2+(3-x)^2+(3-y)^2,把x+y看作a,3-x看作b,3-y看作c,代入引理则：(x+y)^2+(3-x)^2+(3-y)^2 ≥ ((x+y+3-x+3-y)^2)/3=(6^2)/3=12
当且仅当x+y=3-y=3-x时等号取到,即x=y=1时,原式取到最小值12,