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若x>0，y>0，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是 ___ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:56:07

问题描述：

若x>0，y>0，且

x

+

y

≤a

x+y

恒成立，则a的最小值是 ___ ．

答

由题意x，y，a∈R⁺，且

x

+

y

≤a

x+y

恒成立
故有x+y+2

xy

≤a²（x+y）
即a²-1≥

2

xy

x+y

由于

2

xy

x+y

≤

x+y

x+y

=1
a²-1≥1，解得a≥

2

则a的最小值是

2

故答案为：

2

．
答案解析：先对不等式两边平方，整理成 a2−1≥

2

xy

x+y

，再求出

2

xy

x+y

的最大值，令其小于等于a²-1即可解出符合条件的a的范围，从中求出最小值即可．
考试点：函数恒成立问题．
知识点：本题考点是函数恒成立问题，求解本题的关键是将不等式变形分离出常数，属于基础题．