不解方程2x²-(3m-n)x-mn=0(m>n>0),求证:方程有两个不相等的实数根,且一个根比n大,另一根比n小尽快回答,急~
问题描述：
不解方程2x²-(3m-n)x-mn=0(m>n>0),求证:方程有两个不相等的实数根,且一个根比n大,另一根比n小
尽快回答,急~
答
证明：根据判别式
Δ=(3m-n)^2-4*2*(-mn)
=9m^2-6mn+n^2+8mn
=9m^2+2mn+n^2
=8m^2+(m+n)^2
>0
可证方程有两个不等实根。
设方程两根为x1>x2,由韦达定理
x1*x2=-mn/2所以x1>0,x2而x1+x2=(3m-n)/2>n
故x1>n-x2>n
综上得证
答
△=9m²-6mn+n²+8mn
=9m²+2mn+n²
=8m²+(m²+2mn+n²)
=8m²+(m+n)²
m>0则9m²>0
所以△>0
所以有两个不相等的实数根
x1+x2=(3m-n)/2
x1x2=-mn/2
(x1-n)(x2-n)
=x1x2-n(x1+x2)+n²
=-mn/2-n(3m-n)/2+n²
==(-4mn+3n²)/2
=n(3n-4m)/2
m>n>0
所以3n-4m