关于X的二元一次方程（K^2-6K+8)X^2+(2K^2-6k-4)X+K^2=4的两个根都是整数,试求满足条件的所有实数 K 值正确还有奖金!
问题描述：
关于X的二元一次方程（K^2-6K+8)X^2+(2K^2-6k-4)X+K^2=4的两个根都是整数,试求满足条件的所有实数 K 值
正确还有奖金!
答
原方程可化为
（k－4）（k－2）x2＋（2k2－6k－4）x＋（k－2）（k＋2）＝0，
〔（k－4）x＋（k－2）〕〔（k－2）x＋（k＋2）〕＝0，
∵（k－4）（k－2）≠0，∴x1＝－(k－2)/(k－4)＝－1－2/(k－4)，
x2＝－(k＋2)/(k－2)＝－1－4/(k－2)．
∴k－4＝－2/(x1＋1)，k－2＝－2/(x2＋1)．（x1≠－1，x2≠－1）消去k，得
x1x2＋3x1＋2＝0，∴x1（x2＋3）＝－2．由于x1、x2都是整数，
∴x1＝－2，x2＋3＝1； x1＝1，x2＋3＝－2； x1＝2，x2＋3＝－1．
∴x1＝－2，x2＝－2； x1＝1，x2＝－5； x1＝2，x2＝－4．∴k＝6，3，10/3．经检验，k＝6，3，10/3满足题意．
答
用求根公式,
x=[(4+6k-2k^2)±√(4k^2-48k+144)]/(2k^2-12k+16)
化简得
x1=（-4k^2+4k-4）/(k^2-6k+8)=(2-k)/(k-4)
x2=(-k^2+2k+8)/(k^2-6k+8)=(k+2)/(2-k)
若要（2-k)/(k-4) 和（k+2)/(2-k)都为整数
只有k=3和k=6符合条件