设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

问题描述：

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

答

（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an-1+Sn-1=2，②①-②得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．...
答案解析：（Ⅰ）若k=0，不妨设f₀（n）=c（c为常数）．即a_n+S_n=c，结合数列中a_n与 S_n关系an＝

Sn n＝1

Sn−Sn−1 n≥2

求出数列{a_n}的通项公式后再证明．
（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知a_n+S_n=f_k（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．
考试点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．
知识点：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．

设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

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