已知方程组{x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数) （1）求证：不论k为何实数,方程总有两个不同地解（2）设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.
问题描述：
已知方程组{x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数) （1）求证：不论k为何实数,方程总有两个不同地解
（2）设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.
答
kx-y-k=0过定点（1,0）
圆方程（x-1）^2+y^2=1
点（1,0）是圆心，在圆内部
所以直线kx-y-k=0无论k为何数，都和圆有两个交点，也就是
论k为何实数，方程总有两个不同地解
2）
(x-1)^2+(kx-k)^2=1
(k^2+1)(x-1)^2=1
(x-1)^2=1/(k^2+1)
x^2-2x+k^2/(k^2+1)=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4-k^4/(k^2+1)^2
(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2
所以：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数，只和k有关
答
将第二个公式带入一式得（k^2+1）*X^2-（2*k^2+2）*X+K^2=0,得√(b^2-4ac)=4*k^2+4>0,故有不同的解.：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(K^2+1)*[(X1+X2)^2-4X1*X2]=4.