等比数列{an},前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,求{an}的公比
问题描述：
等比数列{an},前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,求{an}的公比
答
a(n)=aq^(n-1),
S(1)=a,S(2)=a(1+q),S(3)=a(1+q+q^2),
[p-S(2)]^2=[p-S(1)][p-S(3)],
[p-a(1+q)]^2=[p-a][p-a(1+q+q^2)],
p^2+a^2(1+q^2+2q)-2pa(1+q)=p^2-pa[2+q+q^2]+a^2(1+q+q^2),
0=qa^2+pa[q^2-q]=qa[a+pq-p]=qa[a+p(q-1)].
q=1时，0=a^2,a=0.矛盾。
因此，q不等于1。
p=a/(1-q).
此时，
S(n)=a[q^n-1]/(q-1),
p-S(n)=a/(1-q)-a[q^n-1]/(q-1)=[a/(1-q)]q^n.
{p-S(n)}是首项为p-S(1)=a/(1-p)-a=ap/(1-p),公比为q的等比数列。
答
等差则4S2=S1+3S3
所以4a1(1-q²)/(1-q)=a1+3a1(1-q3)/(1-q)
两边除以a1
4(1+q)(1-q)/(1-q)=1+3(1-q)(1+q+q²)/(1-q)
4+4q=1+3+3q+3q²
3q²-q=0
q不等于0
所以q=1/3