已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=1f(−2−an)（n∈N*），则a2009的值为______．
问题描述：
已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=
（n∈N*），则a2009的值为______． 1 f(−2−an)
答
知识点：本题主要考查数列的第2009项的求法，考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，灵活利用函数的性质来解决数列的问题．
令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜...
答案解析：利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x2）-f（x1）＜0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数．根据f（an+1）=
和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得an+1-an=2，进而可判断出{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得an．由此能求出结果．1 f(−2−an)
考试点：数列与函数的综合．
知识点：本题主要考查数列的第2009项的求法，考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，灵活利用函数的性质来解决数列的问题．