已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是______．
问题描述：
已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是______．
答
∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2（z2-z-1）⇒3z2-2z-5≤0⇒-1≤z≤
5 3
令f（z）=xyz=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜−
，1 3
∴f（z）在区间[-1，-
]单调递增，在[-1 3
，1]单调递减，在[1，1 3
]单调递增，5 3
当z=-
时，xyz的值为1 3
，当z=5 27
时，xyz的值为5 3
，5 27
∴xyz的最大值为
．5 27
故答案为：
．5 27
答案解析：由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3-z2-z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．
考试点：平均值不等式在函数极值中的应用．
知识点：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，解题的关键是正确转化，从而利用导数进行求解．