已知:如图,过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是菱形.
问题描述:
已知:如图,过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是菱形.
答
证明:在平行四边形ABCD中,OD=OB,OA=OC,
AD∥CB,(1分)
∴∠OBG=∠ODE.(2分)
又∵∠BOG=∠DOE,
∴△OBG≌△ODE.(4分)
∴OE=OG.(5分)
同理OF=OH.(6分)
∴四边形EFGH是平行四边形.(7分)
又∵EG⊥FH,
∴平行四边形EFGH是菱形.(8分)
答案解析:根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由已知条件证明OE=OG,同理OF=OH,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为EG⊥FH,所以四边形EFGH是菱形.
考试点:菱形的判定;平行四边形的性质.
知识点:此题主要考查菱形的判定,综合利用平行四边形的判定.