已知f(x)=log2(x-1),设h(x)=f(x)+m/f(x),是否存正实数m,使得y=h(x)在[3,9]内的最大值值为4?若存在,求出m的值

f(x) = log2(x-1), 3f(x) 值域是[ 1, 3]
设 t = f(x), 则 h= t + m/ t ( m>0) ( 1 h(3) = 3+ m/3 =4 ,得：m= 3
或者h(1)= 1+ m= 4, 得m=3
存在m, m=3

y=log2(x-1)+m/log2(x-1)=t+m\t 设t=log2(x-1),则t范围[1,3]
y的一阶导数为1—m/t^-2
1）m=0 时，y'＞0，增函数　验证后舍去
2）m＜0时，y'＞0，增函数　，验证舍去
3）m＞0时，令y'＝0得t＝根号m,（负的舍去了不用研究）
当根号m＞＝3时，m＞＝9，知t＝1取到最大值，代入得m=3舍去
当根号m＜1时，0＜m＜1,知t＝3时取到最大值，代入得m＝3舍去
当1＜根号m＜3时，知t＝3或t＝1取到最大值，代入m＝3
综上所得m＝3合题意

f(x)=log2(x-1)在[3,9]是增函数,且根据定义域大于0,可知x>1.
又因为 log2(x-1)的倒数=log(x-1)2,因为x>1,其为增函数,
所以h(x))=f(x)+m/f(x)=log2(x-1)+mlog(x-1)2 且是增函数
在【3,9】上x=9时,log2(x-1)=3,log(x-1)2=1/3,函数有最大值：h(x)=3+m/3 ,
令h（x）=4解得：m=3

设t=f(x)=log2(x-1) t在x=[3,9]的取值范围为[2,4]
则y=h(x)=t+m/t且t=[2,4]
I：当mm=0 与假设不符
II：当m=0时,Y=4 符合题意
III：当m>0时，在x=(0,（根号m）)内递减，（（根号m），+无穷）内递增
1、当（根号m）m=0 不符
2、当2 a 当Y=y(2)时 即2+m/2>=4+m/4 ==> m>=8
此时2+m/2=4 ==> m=4 不符
b 当Y=y(4)时 即2+m/2 m 此时4+m/4=4 ==> m=0 不符
3、当（根号m）>4时 即m>16 Y=y(2)=2+m/2=4 ==> m=4 不符
综上 m=0